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Page?8?4H??F?ji??Yashim???Dinamica?di?popola?ioninominali??no?effe?i?i,?possiamo?convenir?ch?b?1??????b?2????0,?cio`?ch?N?1?rappresen?la?grande???dell?popola?ione?dell?specie?pred??N?2?q?ella?dell?specie?preda?ice?Inol??q?ando?consideriamo????eq?azione?(1?4)?co?rappor??di?preda?ione??so?en??sis?ppon?ch?la?specie?pred?abbi?il??ss?di?cresci??na?rale?posi???in?assenz?dipreda?ri??men?e?la?specie?predatrice?abbi?il??ss?di?cresci??nega???in?assenz?dipreda??il?ch?significa??second?la?con?en?ione?appena?in?odot???ch?a?1??????a?2????0.Si?suol?chiamare?il?sis?m?di?eq?azioni?differen?iali?(1?4)?in?generale?eq?azioni?diLo?a-Volterra??Pe?dis?ng?er??casi?second?la?na?ra?di?in?rrela?ione??spesso??ienespecifica?come?eq?azioni?di?Lo?a?Volterra?di??po?simbiosi???di??po?competizione??odi??po?preda-predator??second?ch??iene??erifica?la?rela?ione?(1?6)???(1?7)???(1?8)rispe??amen??????eq?azioni?di?Lo?a?Volterra?di??po?preda-predatore,?cio`?co?a?1????0,a?2????0,?b?1????0,?b?2????0,?`?appunt?q?ella?ch??eni??form?la??da?Vol?rra?pe?spiegare???andament?oscilla?rio?dell?popola?ione?di?selaci?preda?r?ne?confron?di?al??pescinell???Adriatico.?Infa?i,?come??edremo?pi`??a?an???essa?avr`?solu?ioni?periodiche??il?chespiegherebbe????andamen?oscillatorio?dell?popola?ione?dell?specie?predatrice?comeselaci??q?ello?dell?specie?preda?Il?sistem?di?eq?a?ioni?(1?1)??anch?co?raffinat?de?rminazioni?dell?funzionif?i????N?1????????????????N?n??????no?p?`??nere?cont?alc?ni?aspe??impor?n??ch?in?r?engononell??aria?ioni?di?popola?ioni?di??arie?specie?Innan?it???gl?indi?id??appar?nen??ad??ne??al??specie?hann?la?loro?e?a?Cio`e??poic???la?possibili??di?riprod??ione??il??ss?di?mor?li??dipendon?dall???et`?diindi?id?i??la?cresci??dell?popola?ione?dipend?dall?s????ra?di?et`?dell?popola?iones?ssa??Q?es??fa??ci?ind?ce??considerar?le?eq?a?ioni?in?gro-differen?iali?infa?ilo?stesso?Vol?rra?st?di`?gi`?ne?s??libr????Le??cons?su?la????eori?ma???ema?q??de?lal???po??la??ie????alcune?eq?azioni?in?gro-differen?iali?pe?modelli??ar????andamen?dipopola?ioni??nend?con?di??na?s????ra?di?et`a?Il?second?fa?or?ch?pu`?essere?pres?in?considera?ione?`?la?dis?ib??ione?spazialedell?popola?ioni??Il??rri?rio?popola??dall?specie?ch?in?ndiamo?esaminar?pu`?nonessere?omogeneo?in?modo?ch?le?dis?ib??ioni?di?popola?ioni?di??arie?specie??ariino?da??l?og?al???al?o?????andament?dell?cresci??di?popola?ioni?in?di?ersi?luoghi?dipender`aanch?da??arie?rela?ioni?come?migrazione??se??grande?dis?n?a,??diff?sione??se???le??oneprossime???al??rela?ioni?anch?indire?e;?cio`????e?ol??ione?di?popola?ioni?risentir`??ledisomogenei??di?popola?ioni?da???luog?al???al??de??rritorio??In?q?es??considerazionisarebb???le?indicare?co?N?i???????la?popola?ione???la?densi??di?popola?ione??dellaspecie?s?i?ne?luog???al?punto)????al???is?nt??Poic???la?grande???di?popola?ione?nell?nostra?considera?ione?`??na?quan???sta-?stica,?essa?`?sogget??alla?per?rbazione?s?cas?ca??Ci`?pu`?essere?indi?id?a?dallaconsidera?ione?second?cu?la?nascit??la?mor?sono??ariabili?alea?rie;?il?cara?eres?cas?co?cos`???indi?id?at?si?dir`?stocas?ci??demografica.?Ma?`?ancora?pi`??in?res-san?esaminar????effe??di??aria?ioni?alea?ri?dell?condi?ioni?ambien?li??Il?cara?eres?cas?co?do????alle??aria?ioni?alea?ri?dell?condizioni?ambien?li?si?dir`?stocas?ci?aambien?le??Gl?s??ment?principali?di?s?di?pe??modell?ch??ngon?con?di?q?es?per?rbazioni?s?cas?ch?sono?eq?a?ioni?s?cas?che.Se?cerchiam??na?modelli??a?ione?pi`???icin?alla?rela?a??si?de??certamen???nerecon?di?mol?fa?ori????c??la?stru??ra?di?et`a??la?distribu?ione?spaziale??la?s?cas?ci?a?Uni?ersi???di?Torino

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Page?9?H??F?ji??Yashim???Dinamica?di?popola?ioni5Cos`???avremo?da?considerar?modell?assa?complessi??Ma?pe?po??esaminar??li?modellicompless?in?modo?sensato,?bisognerebbe?analiz?arli?indi?id?ando?nell???effe??complessosingol?aspe??di?c??si?possan?pre?eder?compor?ment?pi`???meno?no???In?par?colare?la?risolu?ione?de?sis?m?di?eq?azioni?(1?4)??di?s?oi??ariant??lo?s?di?dell?stabilit`adell?loro?sol??ione?costit?iscono?il?p?nt?di?parten??pe?lo?st?di?dell?dinamica?dipopola?ioni??Ques??argoment?di?base?sono?illustra??anch?in??ar?libr?in?od??iv??eresempi?[Cap];?si?pu`?cons?l?r?anch?[Me?])??Anch?le?disc?ssioni?sull?mo??a?ioni?dimodell?ma?ma?ci?hann?costruit??na??as??le?era?ra????cu?pe?esempi?[Ma?1]?In?ec?lo?st?di?ma?ma?co?rigoroso?de?modell?co?dis?ib??ione??in?ra?ioni?spaziali?quello?de?modell?s?cas?ci?sono?in?pien?svil?ppo?Q?aderni?Dida?ic?de?Dipartimen??di?Ma?ma?ca

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Pag?10?6H??Fuji??Yashim???Dinamica?di?popola?ioniCAPITOL?SECOND?????RICHIAMI?SULL?EQUAZION?DIFFEREN?ZIALII?q?es??capi?lo??ricordiamo?punt?essen?iali?dell??oria?sull?eq?azioni?differen?ziali??in?par?colar?su?sis?m?di?eq?azioni?differen?iali??Tranne????esempi?par?colare(2.39??ci???ne?paragraf??i)??gl?argomen?riportat?in?ques??capi?lo?sono?be?no?e?si??o?an?in?manual?di?Analis?Ma?ma?ca??com?nq??facilmen??deducibili?da??o?rem?ill?stra??in?essi??Pe??no?st?di?sistematic?dell?eq?a?ioni?differen?iali?ordinaries??edan?pe?esmpio?[Ama]??[Arn]??[Pon]??Coloro?ch?hann?gi`a??na?discre??conoscen?adelle?eq?azioni?differen?iali?ordinari?posson?perci`o?sal??re?ques??capi?lo?i??????GENERALI?`A?S?dice?eq?a?ione?differen?iale?????eq?azione(2.1)F????????????????????????????(n)?(????0,o???`e??na?f?nzione?defini??s??????IR?n?1?(?s????so?oinsieme?aper??di?????IR?n?1?)a??alor?reali???`e???in?rvallo?aper???????`e??na?f?nzione?incogni??????`e?la?suaderivat?prima????(n)?`e?la?su?deri?at????sima???Se??na?funzione?????defini??s??Isoddisf?al???eq?a?ione?(2?1)??essa?si?dice?sol??ione?dell???eq?azione?(2?1)??Analogamen??sidic?sis?m?di?eq?azioni?differen?iali???insiem?di?eq?azioni(2.2)F?k?(????1?(?????1?(????????????????(n?(1)?)1?(????????????????m?(?????m?(????????????????(n?(m)?)m?(??????0,k??1,????????????m,o??F?k?(??1,????????????m)?sono?funzioni?defini??s??????IR?N?,??=?mk=1?(n?(k)?+?1???s????so?oinsieme?aper??di?????IR?N?)???alor?reali,??`e???in?rvallo?aper?????k?(?(??1,????????????m)?sono?funzioni?incogni???Se???insiem?di?funzioni???k?(??defini??su??perk??1,?????????????soddisfano?contemporaneamen??alle?eq?azioni?(2?2)??esso?si?dice?sol??ionedel?sis?m?di?eq?azioni?(2?2)?S?dice?eq?a?ione?differen?iale?a??noma??isp??sis?m?di?eq?azioni?differen?ialia??nomo??se?nell?(2?1???esp.?(2?2)??la?f?nzione???esp??F?k?)?no?dipend?da??Anche?se????eq?azione?(2?1)??il?sis?m?di?eq?azioni?(2?2)?cos??iscono?la?defini?ionegeneral?dell?eq?a?ioni?differen?iali??de?sis?m?di?eq?azioni?differen?iali??la?maggiorpar??dell?s?di?dell?eq?a?ioni?differen?iali??iene?fa??ne?caso?in?cu?la?(2?1???la(2.2)?si?risolubile?rispe??alla?deri?a?di?ordine?superiore,?cio`e?ne?caso?in?cu?la?(2?1?s?poss??asformar?nell?forma(2.3)x?(n)?=?????????????????????????????(???1??(???opp?re?la?(2?2)?si?poss??asformar?nell?forma(2.4)x?(n?(k)?)k?(???f?k?(????1?(?????1?(????????????????(n?(1)?)1?(?????????????Uni?ersi??a?di?Torino

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Pag?11?H??Fuji??Yashim???Dinamica?di?popola?ioni7?k?(?????k?(????????????????(n?(k)?k?(????????????????m?(?????m?(????????????????(n?(m)?)m?(?????k??1,????????????m.Una??ol??si?`e?rido??alla?form?(2?3)??`e?facile??asformarla?ancora?nell?formacanonica,?cio`e??ponendoy?1?(???????y?2?(??????????????????????n?(?????(???1??(??l?(2?3)?si??asform?ne?sis?m?di?eq?azioni?differen?iali?di?prim?ordine(2.5)y?1?(?????2?(??y?2?(?????3?(??y?n?(?????????1?(?????2?(????????????????n?(???`E?chiaro?ch?se????eq?azione?differen?iale??il?sis?m?di?eq?azioni?differen?iali?`e?a??nomo?allor?????l?m?eq?a?ione?dell?(2?5??a?r`a?la?formay?n?(??????1?(?????2?(????????????????n?(???`E?facile?comprender?ch?pe???analog?procedimen??anch?la?(2?4??si?pu`o??asfor-mar?in???sistem?di?eq?a?ioni?differen?iali?di?prim?ordine?D?conseg?en??lo?s?di?dell?(2?3???dell?(2?4)?si?riduce?allo?st?di?de?sis?mad?eq?azioni?differen?iali?di?prim?ordine?come?la?(2?5??Per?esempi????eq?azione?dell???oscillator?armonico(2.6)x???????????2?x??s?rid?ce?a(2.7)x?????????y???????????2?x???o??si?`e?pos????????????Nell?(2?7??????rappresen?la?posi?ione?dell???oscillatoreall???is?nt???men?e?????la?s???elocit`a?al???is?n??Com?`e?no????come?si?p?`o??eder?facilmen????le?solu?ioni?dell???eq?azione?(2?6)hanno?la?forma(2.8)x?????co??????????o???????sono?du?cos?n???ch?de?rminan????ampiez???la?fase?dell???oscillazione?siconstat?facilmen??ch?qual?nq??si????????????IR?2?l?f?nzione?????da??dall?(2?8?soddisf?alla?(2?6??S?poniam???????????pe?la?funzione?????da??dall?(2?8???se?pe?ogni??scri?iamoi?p?nt???????????s??pian?cartesiano????????co?calcol?elemen?ri?ot?niam????ellissedat?dall???eq?a?ionex?2?A?2?+y?2??2?A?2?=?1?Q?aderni?Dida?ic?de?Dipar?men??di?Ma?ma?ca

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